Линейные топологические пространства и их связь с пространствами типа (B)

МАТЕМАТИКА В. ШМУЛЬЯН ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ СВЯЗЬ С ПРОСТРАНСТВАМИ ТИПА (В) (Представлено академиком И. М. Виноградовым 28 I 1939) 1. Пусть ЕТ обозначает линейное топологическое пространство, т. е. ли нейное пространство, которое является топологическим и в котором опера ции сложения элементов и умножения на число непрерывны.Это определе ние принадлежит А. Колмогорову (4).Несколько иное определение линей ного топологического пространства было дано J. Neumann'ом (2).Это определение J. Neumann'a основано на рассмотрении окрестностей, которые подчиняются 6 аксиомам.J. Neumann показал, что рассматри ваемое им линейное топологическое пространство является линейным топо логическим пространством по А. Колмогорову.Wehausen (3) показал, что, наоборот, каждое линейное топологическое пространство по А. Колмо горову удовлетворяет всем 6 аксиомам J. Neumann а кроме второй.Однако/ так как J. Neumann использует вторую аксиому только для доказательств теорем 16 -20, то мы сможем воспользоваться основными предложениями J. Neumann'a для изучения линейных топологических пространств Ет А. Колмогорова.Кроме того Wehausen заметил (3), что локально выпуклые линейные топологического пространства по А. Колмогорову совпадают с выпук лыми линейными топологическими пространства «и J. Neumann'a без 2-й его аксиомы.Теорема 1. Компактное множество линейного топологического пространства тотально ограничено (4).Эта теорема, доказательство которой несложно, является обобще нием одной теоремы D. Н. Hyers'a (в).Теорема 2. Если Sкомпактное множество в локально выпуклом и топологически полном (в) линейном, топологическом пространстве ЕТ, то наименьшее выпуклое множество, содержащее S, тоже компактно.Для доказательства этой теоремы достаточно применить предыдущую теорему, а также теоремы 14 и 11 из работы J. Neumann а.Определение 1. Множество S(Z2.Et назовем полным, если для каждой фундаментальной [в смысле G. Birkhoff а (7)] последователь ности {}CZ5, где а пробегает некоторое направленное множество, су ществует элемент Xq^Et, для которого хЛ -О-Теорема 3. Замкнутое множество SC1Et бикомпактно тогда и только тогда, когда оно тоталъ но ограничено й полно.№ * Мы будем придерживаться терминологии и обозначений S. Banach'a (')..